複素解析学I
リアクション数
0
0
0
コンテンツ一覧
1. 複素解析学I-1
複素解析学I -1（前半）
講義の内容 ・実２次元数ベクトル空間に積を与えて複素数体を定義する・複素構造Jを用いた複素数の行列表示・ガウス平面と複素数の演算・平面上の角度を保つ線形写像は複素数の積として表されることの証明・複素数列の収束と複素関数・複素微分可能の定義と性質 ［目次］［00:00:00］参考文献［00:07:30］イントロダクション［00:27:05］１ 複素数 １．１ 複素数の作り方［00:32:56］ ・複素数の作り…
複素解析学I -1（後半）
講義の内容 ・実２次元数ベクトル空間に積を与えて複素数体を定義する・複素構造Jを用いた複素数の行列表示・ガウス平面と複素数の演算・平面上の角度を保つ線形写像は複素数の積として表されることの証明・複素数列の収束と複素関数・複素微分可能の定義と性質 ［目次］［00:00:00］ ・円の方程式［00:03:40］１．３ 複素数の積の幾何学的な性質［00:34:13］１．４ 等角性と複素線形性［00:59:53］２ 複素関数…
2. 複素解析学I-2
複素解析学I -2（前半）
講義の内容 ・全微分と複素微分の関係 ・等角写像は正則 ・複素変数の指数関数と三角関数 ・定理：正則関数の微分が０であれば定数． ・正則関数の例：多項式関数と有理関数の零点と極の位数 ・Riemann球面の作り方 ・有理関数はRiemann球面の間の連続写像を定義する ・有理関数は位数をmとするとm対1写像になる(証明は次回) ［目次］［00:00:00］全微分と複素微分の関係［00:27:07］等角写像［00:48:38］複素変数の…
複素解析学I -2（後半）
講義の内容 ・全微分と複素微分の関係 ・等角写像は正則 ・複素変数の指数関数と三角関数 ・定理：正則関数の微分が０であれば定数． ・正則関数の例：多項式関数と有理関数の零点と極の位数 ・Riemann球面の作り方 ・有理関数はRiemann球面の間の連続写像を定義する ・有理関数は位数をmとするとm対1写像になる(証明は次回) ［目次］［00:00:00］正則関数の例：多項式関数と有理関数の零点と極の位数［00:03:57］リ…
3. 複素解析学I-3
複素解析学I -3（前半）
講義の内容 ・級数の絶対収束と一様収束，優級数・べき級数の収束半径（上極限の復習）・収束円の中ではべき級数は項別微分可能・指数関数と三角関数のべき級数での定義・指数関数の周期とπの定義 ［目次］［00:00:00］有理関数は位数をmとするとm対1写像になる(前回の続き）［00:11:31］級数の絶対収束と一様収束，優級数［00:31:55］べき級数の収束半径［01:07:46］級数の収束半径を求める：1 実数列の上極限（復習）［0…
複素解析学I -3（後半）
講義の内容 ・級数の絶対収束と一様収束，優級数・べき級数の収束半径（上極限の復習）・収束円の中ではべき級数は項別微分可能・指数関数と三角関数のべき級数での定義・指数関数の周期とπの定義 ［目次］［00:00:00］収束円上での振舞［00:19:30］べき級数の微分：収束円の中ではべき級数は項別微分可能［00:45:06] 指数関数と三角関数のべき級数での定義［00:58:07] 指数関数の周期とπの定義［01:10:32] 対数関数［01:19…
4. 複素解析学I-4
複素解析学I -4（前半）
講義の内容 ・線積分とグリーンの定理の復習・グリーンの定理を用いたコーシーの積分定理の証明・コーシーの積分表示・コーシーの積分定理を用いた定積分の計算（フレネル積分）・複素線積分をリーマン積分の類似として定義する方法；弧長による積分・複素線積分と原始関数の関係 ［目次］［00:00:00］線積分とグリーンの定理 1（外微分形式を用いて）［00:07:57］1形式と線積分，向き付けられた曲線［00:36:55］関数の外微…
複素解析学I -4（後半）
講義の内容 ・線積分とグリーンの定理の復習・グリーンの定理を用いたコーシーの積分定理の証明・コーシーの積分表示・コーシーの積分定理を用いた定積分の計算（フレネル積分）・複素線積分をリーマン積分の類似として定義する方法；弧長による積分・複素線積分と原始関数の関係 ［目次］［00:00:00］コーシーの公式［00:14:53］コーシーの積分定理［00:18:13］コーシーの積分表示［00:34:51］コーシーの積分定理を用いた…
5. 複素解析学I-5
複素解析学I -5（前半）
講義の内容 ・C^1級であることを仮定せずにコーシーの積分定理を証明 ・コーシーの評価とその応用：リュービルの定理・代数学の基本定理・モレラの定理・コンパクト性についての予習と一様収束性・正則関数列が広義一様収束すれば極限関数も正則 ［目次］［00:00:00］コーシーの積分定理：C^1級であることを仮定しない証明 ［00:06:17］第1段階：三角形領域に対するコーシーの積分定理［00:21:14］第2段階：三角形分割した…
複素解析学I -5（後半）
講義の内容 ・C^1級であることを仮定せずにコーシーの積分定理を証明 ・コーシーの評価とその応用：リュービルの定理・代数学の基本定理・モレラの定理・コンパクト性についての予習と一様収束性・正則関数列が広義一様収束すれば極限関数も正則 ［目次］ ［00:00:00］コーシーの評価［00:08:33］コーシーの評価の応用：リュービルの定理［00:12:46］代数学の基本定理［00:17:48］モレラの定理［00:29:49］コンパクト性と…
6. 複素解析学I-6
複素解析学I -6（前半）
講義の内容 ・Taylorの定理；剰余項の線積分による表示；ベキ級数展開の収束・ベキ級数展開の計算方法（ベルヌーイ数の計算）・星形領域の閉曲線に関するコーシーの積分表示と回転数・回転数は整数であり曲線のきめる領域上で定数である・回転数を半直線を横断する曲線の方向の符号の和として表す公式の証明・曲線のホモトピーと単連結性の定義・凸領域は単連結 ［目次］［00:00:00］Taylorの定理；剰余項の線積分による表…
複素解析学I -6（後半）
講義の内容 ・Taylorの定理；剰余項の線積分による表示；ベキ級数展開の収束・ベキ級数展開の計算方法（ベルヌーイ数の計算）・星形領域の閉曲線に関するコーシーの積分表示と回転数・回転数は整数であり曲線のきめる領域上で定数である・回転数を半直線を横断する曲線の方向の符号の和として表す公式の証明・曲線のホモトピーと単連結性の定義・凸領域は単連結 ［目次］［00:00:00］コーシーの積分表示の一般化と回転数［0…
7. 複素解析学I-7
複素解析学I -7（前半）
講義の内容 ・連続曲線に沿った正則関数の線積分の定義・１点とhomotopicである曲線に対するCauchyの積分定理・単連結領域では正則関数の原始関数が存在する；複素積分をもちいた対数の定義・正則関数の零点の位数；定数でない正則関数の零点は有限位数である・極の位数とローラン展開・Riemannの除去可能特異点定理・真性特異点でのCasorati-Weierstrassの定理 ［目次］［00:00:00］ ホモトピー型のコーシーの積分定理 …
複素解析学I -7（後半）
講義の内容 ・連続曲線に沿った正則関数の線積分の定義・１点とhomotopicである曲線に対するCauchyの積分定理・単連結領域では正則関数の原始関数が存在する；複素積分をもちいた対数の定義・正則関数の零点の位数；定数でない正則関数の零点は有限位数である・極の位数とローラン展開・Riemannの除去可能特異点定理・真性特異点でのCasorati-Weierstrassの定理 ［目次］［00:00:00］正則関数の零点と極 連結性…
8. 複素解析学I-8
複素解析学I -8（前半）
講義の内容 ・無限遠点での正則性と極の定義・Riemann 球面全体で定義された有理型関数は有理関数である・一次変換とSL(2,C)の関係を射影空間を使って説明・一次変換の性質（３点の値によって決定される；非調和比を保つ；円を円に移す）・最大値の原理・シュワルツの補題・円板を円板にうつす双正則写像は一次変換である ［目次］［00:00:00］有理型関数［00:20:00］無限遠点での正則性と極の定義［00:32:07］Riemann球面…
複素解析学I -8（後半）
講義の内容 ・無限遠点での正則性と極の定義・Riemann 球面全体で定義された有理型関数は有理関数である・一次変換とSL(2,C)の関係を射影空間を使って説明・一次変換の性質（３点の値によって決定される；非調和比を保つ；円を円に移す）・最大値の原理・シュワルツの補題・円板を円板にうつす双正則写像は一次変換である ［目次］［00:00:00］一次変換の性質 （３点の値によって決定される；4点の値（非調和比…
9. 複素解析学I-9
複素解析学I -9（前半）
講義の内容 ・Laurent展開の存在と留数の定義・留数定理 I：境界が連続微分可能な曲線である場合・留数定理 II:１点とhomotopicな閉曲線の場合と・偏角の原理・ルーシェの定理・円周の正則関数による像の０のまわりの回転数と零点の関係・定数でない正則写像は開写像である・正則写像の逆写像定理 ［目次］［00:00:00］Laurent展開留数の定義［00:28:05］留数定理 I：境界が連続微分可能な曲線である場合［00:45:18］留数定…
複素解析学I -9（後半）
講義の内容 ・Laurent展開の存在と留数の定義・留数定理 I：境界が連続微分可能な曲線である場合・留数定理 II:１点とhomotopicな閉曲線の場合と・偏角の原理・ルーシェの定理・円周の正則関数による像の０のまわりの回転数と零点の関係・定数でない正則写像は開写像である・正則写像の逆写像定理 ［目次］［00:00:00］偏角の原理［00:25:38］ルーシェの定理［00:46:28］開写像定理 （定数でない正則写像は開写像である）…
10. 複素解析学I-10
複素解析学I -10（前半）
講義の内容 ・留数計算その１：三角関数の有理式の定積分、有理関数の定積分，・留数計算その２：主値積分・留数計算その３：Logの分枝を用いた計算 ［目次］［00:00:00］留数計算１-1：三角関数の有理式の定積分［00:18:47］留数計算１-2：有理関数の定積分［01:07:42］留数計算2-1：主値積分［01:31:32］留数計算2-2：主値積分の例
複素解析学I -10（後半）
講義の内容 ・留数計算その１：三角関数の有理式の定積分、有理関数の定積分，・留数計算その２：主値積分・留数計算その３：Logの分枝を用いた計算 ［目次］［00:00:00］留数計算3-1：対数の多価性を用いた計算［00:30:21］留数計算3-2：対数の多価性を用いた計算（別解）
11. 複素解析学I-11
複素解析学I -11（前半）
講義の内容 ・部分分数展開 (sin z)^(-2), cot z, 1/sin z・無限積の定義を収束のための十分条件・無限積を用いた正則関数の構成とその対数微分:例 sin z ［目次］［00:00:00］部分分数展開 ［00:39:14］部分分数展開の例 1. (sin z)^(-2)［01:12:10］部分分数展開の例 2. cot z
複素解析学I -11（後半）
講義の内容 ・部分分数展開 (sin z)^(-2), cot z, 1/sin z・無限積の定義を収束のための十分条件・無限積を用いた正則関数の構成とその対数微分:例 sin z ［目次］［00:00:00］部分分数展開の例 3. 1/sin z［00:20:40］無限積の定義およびその収束性の議論の準備［00:46:15］無限積の一様収束のための十分条件［01:06:40］無限積を用いた正則関数の構成とその対数微分:例 sin z
12. 複素解析学I-12
複素解析学I -12（前半）
講義の内容 ・ガンマ関数の積分による定義と全平面への解析接続・ガンマ関数の反転公式，無限積表示・リーマンのゼータ関数の積分表示・ゼータ関数の関数等式（補足：ゼータ関数の自明な零点の説明が不十分でした．Re z>1に零点を持たないことは無限積表示から明らかでした．Re z<0での零点が偶数のみであることは関数等式で三角関数の零点とガンマ関数の極を比べれば分かります．これは講義の最後で書いた通りです．） …
複素解析学I -12（後半）
講義の内容 ・ガンマ関数の積分による定義と全平面への解析接続・ガンマ関数の反転公式，無限積表示・リーマンのゼータ関数の積分表示・ゼータ関数の関数等式（補足：ゼータ関数の自明な零点の説明が不十分でした．Re z>1に零点を持たないことは無限積表示から明らかでした．Re z<0での零点が偶数のみであることは関数等式で三角関数の零点とガンマ関数の極を比べれば分かります．これは講義の最後で書いた通りです．） …
シリーズ一覧に戻る