確率過程論（数理手法VI）

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確率過程論（数理手法VI）

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時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が重要な道具として用いられる。この講義では数理手法IVに続き、離散時間の確率過程論の講義を行った後、連続時間の確率過程の理論について講義を行う。また、ファイナンスへの応用として、ブラック・ショールズ・マートンによるオプション価格理論を扱う。

確率過程論（数理手法VI）

Content List

1. 数理手法Ⅳの復習

1-1 講義概要

1-2 参考文献

1-3 復習：σ-加法族、確率空間

1-4 復習：確率変数、期待値、積分の収束定理

1-5 復習：条件付期待値、マルチンゲール

1-6 復習：停止時刻、任意停止定理

1-7 復習：マルチンゲール変換、Doobの不等式

講義資料1

2. マルチンゲール収束定理

2-1 上向き横断不等式

2-2 上向き横断不等式の証明

2-3 マルチンゲール収束定理とその証明（1）

2-4 マルチンゲール収束定理とその証明（2）

2-5 マルチンゲール収束定理とその証明（3）

2-6 収束定理の系と大数の法則

2-7 ギャンブラーの破産

2-8 分枝過程

講義資料2

3. マルチンゲール中心極限定理

3-1 確率収束と分布収束

3-2 各収束の関係とマルチンゲール中心極限定理の導入

3-3 マルチンゲール中心極限定理

3-4 独立確率変数列に対する中心極限定理

3-5 独立確率変数列に対する中心極限定理の証明

3-6 コーシー・シュワルツの不等式と積の分布収束

3-7 AR過程の最尤推定の例

3-8 １．最尤推定量の計算

3-9 ２．推定量の漸近正規性（１）

3-10 ２．推定量の漸近正規性（２）

講義資料3

4. マルコフ連鎖の定義と基本的性質

4-1 演習問題の解説

4-2 AR過程の最尤推定の例：３．信頼区間の計算

4-3 d次元ボレル集合族とX=xの下での条件付期待値

4-4 σ(X)-可測関数の性質

4-5 X=xの下での条件付期待値の定義と例

4-6 マルコフ連鎖の定義

4-7 条件付期待値の性質とマルコフ連鎖の例

4-8 マルコフ連鎖の性質

講義資料4

5. マルコフ連鎖の有限次元分布とマルコフ性

1 演習問題の解説

2 マルコフ連鎖の有限次元分布

3 マルコフ連鎖の構成

4 有限空間のマルコフ連鎖の例

5 π-λ定理

6 マルコフ性

7 マルコフ性の証明

8 チャップマン・コルモゴロフ方程式と適用例

講義資料5

6. 強マルコフ性と反射原理

6-1 演習問題の解説

6-2 強マルコフ性

6-3 反射原理

6-4 反射原理の証明

6-5 ランダムウォーク、連続時間の反射原理

6-6 投票定理

6-7 投票定理の証明

6-8 マルコフ連鎖のその他の話題

講義資料6

7. ブラウン運動

7-1 連続時間の確率過程

7-2 ブラウン運動の定義

7-3 連続時間マルチンゲール

7-4 ブラウン運動のマルチンゲール性

7-5 ブラウン運動のマルコフ性

7-6 反射原理、ブラック・ショールズ・モデル

講義資料7

8. 連続時間マルチンゲール

8-1 Doobの不等式

8-2 マルチンゲール収束定理

8-3 完備確率空間、usual condition、停止時刻

8-4 停止時刻の性質

8-5 到達時刻

講義資料8

9. 任意停止定理と確率積分

9-1 演習問題の解説

1-1　講義概要

1-2　参考文献

1-3　復習：σ-加法族、確率空間

1-4　復習：確率変数、期待値、積分の収束定理

1-5　復習：条件付期待値、マルチンゲール

1-6　復習：停止時刻、任意停止定理

1-7　復習：マルチンゲール変換、Doobの不等式

2-1　上向き横断不等式

2-2　上向き横断不等式の証明

2-3　マルチンゲール収束定理とその証明（1）

2-4　マルチンゲール収束定理とその証明（2）

2-5　マルチンゲール収束定理とその証明（3）

2-6　収束定理の系と大数の法則

2-7　ギャンブラーの破産

2-8　分枝過程

3-1　確率収束と分布収束

3-2　各収束の関係とマルチンゲール中心極限定理の導入

3-3　マルチンゲール中心極限定理

3-4　独立確率変数列に対する中心極限定理

3-5　独立確率変数列に対する中心極限定理の証明

3-6　コーシー・シュワルツの不等式と積の分布収束

3-7　AR過程の最尤推定の例

3-8　１．最尤推定量の計算

3-9　２．推定量の漸近正規性（１）

3-10　２．推定量の漸近正規性（２）

4-1　演習問題の解説

4-2　AR過程の最尤推定の例：３．信頼区間の計算

4-3　d次元ボレル集合族とX=xの下での条件付期待値

4-4　σ(X)-可測関数の性質

4-5　X=xの下での条件付期待値の定義と例

4-6　マルコフ連鎖の定義

4-7　条件付期待値の性質とマルコフ連鎖の例

4-8　マルコフ連鎖の性質

1　演習問題の解説

2　マルコフ連鎖の有限次元分布

3　マルコフ連鎖の構成

4　有限空間のマルコフ連鎖の例

5　π-λ定理

6　マルコフ性

7　マルコフ性の証明

8　チャップマン・コルモゴロフ方程式と適用例

6-1　演習問題の解説

6-2　強マルコフ性

6-3　反射原理

6-4　反射原理の証明

6-5　ランダムウォーク、連続時間の反射原理

6-6　投票定理

6-7　投票定理の証明

6-8　マルコフ連鎖のその他の話題

7-1　連続時間の確率過程

7-2　ブラウン運動の定義

7-3　連続時間マルチンゲール

7-4　ブラウン運動のマルチンゲール性

7-5　ブラウン運動のマルコフ性

7-6　反射原理、ブラック・ショールズ・モデル

8-1　Doobの不等式

8-2　マルチンゲール収束定理

8-3　完備確率空間、usual condition、停止時刻

8-4　停止時刻の性質

8-5　到達時刻

9-1　演習問題の解説

9-2　停止時刻に関する定義と性質

9-3　停止時刻の性質の証明

9-4　任意停止定理と例

9-5　確率積分

9-6　確率積分の定義と性質（階段過程の場合）

9-7　階段過程の確率積分の性質２

10-1　一般のfに対する確率積分

10-2　確率積分の性質

10-3　確率積分のマルチンゲール性

10-4　マルチンゲール表現定理

10-5　伊藤の公式

10-6　伊藤の公式の例

10-7　多次元の伊藤の公式とその例

11-1　ブラック・ショールズ・モデル

11-2　ヨーロッパ・オプションと株式運用による補填

11-3　オプション価格の導出

11-4　ブラック・ショールズ・マートンの公式（１）

11-5　ブラック・ショールズ・マートンの公式（２）

11-6　プット・オプション