確率過程論（数理手法VI）

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確率過程論（数理手法VI）

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時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が道具として用いられる。この講義では数理手法IVに続き、連続な確率過程の理論について講義を行う。

確率過程論（数理手法VI）

Content List

1. 測度論からの準備

1-1 初めに

1-2 1.1.1 σ-可測族

1-3 1.1.2 Dinkin系

1-4 測度

1-5 可測関数、可測写像

1-6 2.1.1 確率空間、確率変数

1-7 2.1.2 期待値

講義資料1

2. 測度論的確率論

2-1 2.1.2 期待値（つづき）

2-2 2.2.1 定義

2-3 2.2.2 独立性についてのいくつかの重要な性質

2-4 2.2.3 独立な確率変数に関する性質

2-5 3.1.1 定義

2-6 3.1.2 いくつかの性質

講義資料2

3. ブラウン運動①

3-1 3.1.2 いくつかの性質（つづき）

3-2 4.0 初めに

3-3 4.1.1 ガウス確率変数

3-4 4.1.2 ガウス確率変数の列に関する性質

3-5 4.1.3 ガウス系の定義と性質

3-6 4.1.4 ガウス系の定義と性質（つづき）

3-7 4.2.1 ブラウン運動の定義

3-8 4.2.2 ブラウン運動の存在定理

講義資料3

4. ブラウン運動②

4-1 4.2.1 ブラウン運動の定義（前回の復習）

4-2 4.2.2 ブラウン運動の存在定理（前回の復習）

4-3 4.2.3 証明（1．標準正規分布の分布関数に連続な逆関数があること）

4-4 4.2.4 証明つづき（2．Ψn,mが完備であること）

4-5 4.2.5 証明つづき（3．確率過程の定義とその性質）

4-6 4.2.6 証明つづき（4．確率過程の変動に関する種々の期待値）

4-7 4.2.7 証明つづき（5．確率過程の変動に関する種々の期待値上限値の評価）

4-8 4.2.8 証明つづき（6．ブラウン運動の定義、期待値、分散）

4-9 4.2.9 証明つづき（7．ブラウン運動の期待値と分散、まとめ）

4-10 4.2.10 ホワイト・ノイズ

講義資料3

5. ブラウン運動③

5-1 4.3.1 確率空間の完備化

5-2 4.3.2 完備な確率空間

5-3 4.4.1 d-次元標準ブラウン運動

5-4 4.4.2 ブラウン運動から作られるフィルトレーション（1）

5-5 4.4.3 ブラウン運動から作られるフィルトレーション（2）

5-6 5.1.1 標準的条件を満たすフィルトレーション

5-7 5.1.2 積分の定義

講義資料3

6. 連続マルチンゲール

6-1 5.1.2 積分の定義（これまでのまとめ）

6-2 5.1.3 積分値（期待値）の一意性、連続性および存在

6-3 5.2.1 連続マルチンゲールの定義

6-4 5.2.2 いくつかの性質（1）2乗可積分性

6-5 5.2.3 いくつかの性質（2）

6-6 5.3.1 連続時刻の場合の停止時刻の定義

6-7 5.3.2 離散時間へのすり替え：分割の定義と離散化された停止時刻

6-8 5.3.3 停止時刻の性質

6-9 5.3.4 連続マルチンゲールの停止時刻における性質（1）

6-10 5.3.5 連続マルチンゲールの停止時刻における性質（2）

7. 確率積分①

7-1 5.3.5 連続マルチンゲールの停止時刻における性質 (2) （つづき ノーテーションのまとめ）

7-2 5.3.6 連続マルチンゲールの停止時刻における性質 (3)

7-3 5.3.7 連続マルチンゲールの停止時刻における性質 (4)

7-4 6.1.1 標準的ブラウン運動の定義

7-5 6.1.2 標準的ブラウン運動に対する積分

7-6 6.1.3 ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質1）連続マルチンゲール

7-7 6.1.4 ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質2）2乗可積分性と連続マルチンゲール

7-8 6.1.5 ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質3）

演習問題4

8. 確率積分②

8-1 6.1.5 ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質3 つづき）

8-2 6.1.6 異なる時間に関する相関の評価 (1)

8-3 6.1.7 異なる時間に関する相関の評価 (2)

8-4 6.1.8 異なる時間に関する相関の評価 (3)

8-5 6.2.1 異なる時間に対する一様な収束

8-6 6.2.2 確率積分の導入

8-7 6.2.3 確率積分の性質(1)

8-8 6.2.4 確率積分の性質(2)

1-1　初めに

1-2　1.1.1　σ-可測族

1-3　1.1.2　Dinkin系

1-4　測度

1-5　可測関数、可測写像

1-6　2.1.1　確率空間、確率変数

1-7　2.1.2　期待値

2-1　2.1.2　期待値（つづき）

2-2　2.2.1　定義

2-3　2.2.2　独立性についてのいくつかの重要な性質

2-4　2.2.3　独立な確率変数に関する性質

2-5　3.1.1　定義

2-6　3.1.2　いくつかの性質

3-1　3.1.2　いくつかの性質（つづき）

3-2　4.0　初めに

3-3　4.1.1　ガウス確率変数

3-4　4.1.2　ガウス確率変数の列に関する性質

3-5　4.1.3　ガウス系の定義と性質

3-6　4.1.4　ガウス系の定義と性質（つづき）

3-7　4.2.1　ブラウン運動の定義

3-8　4.2.2　ブラウン運動の存在定理

4-1　4.2.1　ブラウン運動の定義（前回の復習）

4-2　4.2.2　ブラウン運動の存在定理（前回の復習）

4-3　4.2.3　証明（1．標準正規分布の分布関数に連続な逆関数があること）

4-4　4.2.4　証明つづき（2．Ψn,mが完備であること）

4-5　4.2.5　証明つづき（3．確率過程の定義とその性質）

4-6　4.2.6　証明つづき（4．確率過程の変動に関する種々の期待値）

4-7　4.2.7　証明つづき（5．確率過程の変動に関する種々の期待値上限値の評価）

4-8　4.2.8　証明つづき（6．ブラウン運動の定義、期待値、分散）

4-9　4.2.9　証明つづき（7．ブラウン運動の期待値と分散、まとめ）

4-10　4.2.10 ホワイト・ノイズ

5-1　4.3.1　確率空間の完備化

5-2　4.3.2　完備な確率空間

5-3　4.4.1　d-次元標準ブラウン運動

5-4　4.4.2　ブラウン運動から作られるフィルトレーション（1）

5-5　4.4.3　ブラウン運動から作られるフィルトレーション（2）

5-6　5.1.1　標準的条件を満たすフィルトレーション

5-7　5.1.2　積分の定義

6-1　5.1.2　積分の定義（これまでのまとめ）

6-2　5.1.3　積分値（期待値）の一意性、連続性および存在

6-3　5.2.1　連続マルチンゲールの定義

6-4　5.2.2　いくつかの性質（1）2乗可積分性

6-5　5.2.3　いくつかの性質（2）

6-6　5.3.1　連続時刻の場合の停止時刻の定義

6-7　5.3.2　離散時間へのすり替え：分割の定義と離散化された停止時刻

6-8　5.3.3　停止時刻の性質

6-9　5.3.4　連続マルチンゲールの停止時刻における性質（1）

6-10 5.3.5　連続マルチンゲールの停止時刻における性質（2）

7-1　5.3.5　連続マルチンゲールの停止時刻における性質 (2) （つづき　ノーテーションのまとめ）

7-2　5.3.6　連続マルチンゲールの停止時刻における性質 (3)

7-3　5.3.7　連続マルチンゲールの停止時刻における性質 (4)

7-4　6.1.1　標準的ブラウン運動の定義

7-5　6.1.2　標準的ブラウン運動に対する積分

7-6　6.1.3　ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質1）連続マルチンゲール

7-7　6.1.4　ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質2）2乗可積分性と連続マルチンゲール

7-8　6.1.5　ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質3）

8-1　6.1.5　ブラウン運動と組み合わされる関数について（性質3 つづき）

8-2　6.1.6　異なる時間に関する相関の評価 (1)

8-3　6.1.7　異なる時間に関する相関の評価 (2)

8-4　6.1.8　異なる時間に関する相関の評価 (3)

8-5　6.2.1　異なる時間に対する一様な収束

8-6　6.2.2　確率積分の導入

8-7　6.2.3　確率積分の性質(1)

8-8　6.2.4　確率積分の性質(2)

8-9　6.2.5　確率積分の性質(3)

9-1　6.2.6　確率積分の性質(4)（前回までの復習）

9-2　6.2.7　確率積分と停止時刻 (1)

9-3　6.2.8　確率積分と停止時刻 (2)

9-4　6.2.9　確率積分に対する評価式

9-5　6.3.1　確率微分方程式の導入と「解」

9-6　6.3.2　SDEの解の一意性(1) 解の候補（有界連続性と、確率積分が存在すること）

9-7　6.3.3　SDEの解の一意性(2) 確率積分の評価式

9-8　6.3.4　SDEの解の一意性(3) 連続性と一意性　

10-1　7.0.1　これまでのまとめと伊藤の公式の役割

10-2　7.1.1　伊藤過程とは（伊藤過程の定義）

10-3　7.1.2　伊藤の公式のための準備 (1)

10-4　7.1.3　伊藤の公式のための準備 (2)

10-5　7.1.4　伊藤の公式のための準備 (3) 確率積分の拡張

10-6　7.1.5　拡張した確率積分が差分の極限となっていること

10-7　7.1.6　伊藤過程が線形なベクトル空間になっていること