確率過程論（数理手法VI） | UTokyo Channel

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情報理工学系研究科

確率過程論（数理手法VI）

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時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が重要な道具として用いられる。この講義では数理手法IVに続き、離散時間の確率過程論の講義を行った後、連続時間の確率過程の理論について講義を行う。また、ファイナンスへの応用として、ブラック・ショールズ・マートンによるオプション価格理論を扱う。

Content List

コンテンツ一覧

1. 数理手法Ⅳの復習

1-1　講義概要

講師 | 荻原哲平

1-2　参考文献

講師 | 荻原哲平

1-3　復習：σ-加法族、確率空間

講師 | 荻原哲平

1-4　復習：確率変数、期待値、積分の収束定理

講師 | 荻原哲平

1-5　復習：条件付期待値、マルチンゲール

講師 | 荻原哲平

1-6　復習：停止時刻、任意停止定理

講師 | 荻原哲平

1-7　復習：マルチンゲール変換、Doobの不等式

講師 | 荻原哲平

講義資料1

講師 | 荻原哲平

2. マルチンゲール収束定理

2-1　上向き横断不等式

講師 | 荻原哲平

2-2　上向き横断不等式の証明

講師 | 荻原哲平

2-3　マルチンゲール収束定理とその証明（1）

講師 | 荻原哲平

2-4　マルチンゲール収束定理とその証明（2）

講師 | 荻原哲平

2-5　マルチンゲール収束定理とその証明（3）

講師 | 荻原哲平

2-6　収束定理の系と大数の法則

講師 | 荻原哲平

2-7　ギャンブラーの破産

講師 | 荻原哲平

2-8　分枝過程

講師 | 荻原哲平

講義資料2

講師 | 荻原哲平

3. マルチンゲール中心極限定理

3-1　確率収束と分布収束

講師 | 荻原哲平

3-2　各収束の関係とマルチンゲール中心極限定理の導入

講師 | 荻原哲平

3-3　マルチンゲール中心極限定理

講師 | 荻原哲平

3-4　独立確率変数列に対する中心極限定理

講師 | 荻原哲平

3-5　独立確率変数列に対する中心極限定理の証明

講師 | 荻原哲平

3-6　コーシー・シュワルツの不等式と積の分布収束

講師 | 荻原哲平

3-7　AR過程の最尤推定の例

講師 | 荻原哲平

3-8　１．最尤推定量の計算

講師 | 荻原哲平

3-9　２．推定量の漸近正規性（１）

講師 | 荻原哲平

3-10　２．推定量の漸近正規性（２）

講師 | 荻原哲平

講義資料3

講師 | 荻原哲平

4. マルコフ連鎖の定義と基本的性質

4-1　演習問題の解説

講師 | 荻原哲平

4-2　AR過程の最尤推定の例：３．信頼区間の計算

講師 | 荻原哲平

4-3　d次元ボレル集合族とX=xの下での条件付期待値

講師 | 荻原哲平

4-4　σ(X)-可測関数の性質

講師 | 荻原哲平

4-5　X=xの下での条件付期待値の定義と例

講師 | 荻原哲平

4-6　マルコフ連鎖の定義

講師 | 荻原哲平

4-7　条件付期待値の性質とマルコフ連鎖の例

講師 | 荻原哲平

4-8　マルコフ連鎖の性質

講師 | 荻原哲平

講義資料4

講師 | 荻原哲平

5. マルコフ連鎖の有限次元分布とマルコフ性

1　演習問題の解説

講師 | 荻原哲平

2　マルコフ連鎖の有限次元分布

講師 | 荻原哲平

3　マルコフ連鎖の構成

講師 | 荻原哲平

4　有限空間のマルコフ連鎖の例

講師 | 荻原哲平

5　π-λ定理

講師 | 荻原哲平

6　マルコフ性

講師 | 荻原哲平

7　マルコフ性の証明

講師 | 荻原哲平

8　チャップマン・コルモゴロフ方程式と適用例

講師 | 荻原哲平

講義資料5

講師 | 荻原哲平

6. 強マルコフ性と反射原理

6-1　演習問題の解説

講師 | 荻原哲平

6-2　強マルコフ性

講師 | 荻原哲平

6-3　反射原理

講師 | 荻原哲平

6-4　反射原理の証明

講師 | 荻原哲平

6-5　ランダムウォーク、連続時間の反射原理

講師 | 荻原哲平

6-6　投票定理

講師 | 荻原哲平

6-7　投票定理の証明

講師 | 荻原哲平

6-8　マルコフ連鎖のその他の話題

講師 | 荻原哲平

講義資料6

講師 | 荻原哲平

7. ブラウン運動

7-1　連続時間の確率過程

講師 | 荻原哲平

7-2　ブラウン運動の定義

講師 | 荻原哲平

7-3　連続時間マルチンゲール

講師 | 荻原哲平

7-4　ブラウン運動のマルチンゲール性

講師 | 荻原哲平

7-5　ブラウン運動のマルコフ性

講師 | 荻原哲平

7-6　反射原理、ブラック・ショールズ・モデル

講師 | 荻原哲平

講義資料7

講師 | 荻原哲平

8. 連続時間マルチンゲール

8-1　Doobの不等式

講師 | 荻原哲平

8-2　マルチンゲール収束定理

講師 | 荻原哲平

8-3　完備確率空間、usual condition、停止時刻

講師 | 荻原哲平

8-4　停止時刻の性質

講師 | 荻原哲平

8-5　到達時刻

講師 | 荻原哲平

講義資料8

講師 | 荻原哲平

9. 任意停止定理と確率積分

9-1　演習問題の解説

講師 | 荻原哲平

9-2　停止時刻に関する定義と性質

講師 | 荻原哲平

9-3　停止時刻の性質の証明

講師 | 荻原哲平

9-4　任意停止定理と例

講師 | 荻原哲平

9-5　確率積分

講師 | 荻原哲平

9-6　確率積分の定義と性質（階段過程の場合）

講師 | 荻原哲平

9-7　階段過程の確率積分の性質２

講師 | 荻原哲平

講義資料9

講師 | 荻原哲平

10. 確率積分のマルチンゲール性と伊藤の公式

10-1　一般のfに対する確率積分

講師 | 荻原哲平

10-2　確率積分の性質

講師 | 荻原哲平

10-3　確率積分のマルチンゲール性

講師 | 荻原哲平

10-4　マルチンゲール表現定理

講師 | 荻原哲平

10-5　伊藤の公式

講師 | 荻原哲平

10-6　伊藤の公式の例

講師 | 荻原哲平

10-7　多次元の伊藤の公式とその例

講師 | 荻原哲平

講義資料10

講師 | 荻原哲平

11. オプション価格理論

11-1　ブラック・ショールズ・モデル

講師 | 荻原哲平

11-2　ヨーロッパ・オプションと株式運用による補填

講師 | 荻原哲平

11-3　オプション価格の導出

講師 | 荻原哲平

11-4　ブラック・ショールズ・マートンの公式（１）

講師 | 荻原哲平

11-5　ブラック・ショールズ・マートンの公式（２）

講師 | 荻原哲平

11-6　プット・オプション

講師 | 荻原哲平

11-7　参考文献

講師 | 荻原哲平

講義資料11

講師 | 荻原哲平

12. 確率微分方程式

12-1　確率微分方程式とその解

講師 | 荻原哲平

12-2　確率微分方程式の例

講師 | 荻原哲平

12-3　解の存在と一意性、CIR過程

講師 | 荻原哲平

12-4　Brownian bridge

講師 | 荻原哲平

12-5　ディリクレ問題

講師 | 荻原哲平

12-6　Feynman-Kacの公式

講師 | 荻原哲平

講義資料12

講師 | 荻原哲平

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