最適化手法（数理手法III）

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最適化手法（数理手法III）

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最適化とその応用について講述する．最適化（数理計画）とは，意思決定のための数理手法の一つである．最適化では，与えられた条件を満たす解のうち，ある関数を最小（または最大）にするものを求める．工学における多くの問題が，このような最適化問題として定式化できる．この講義では，最適化におけるいくつかの基本的な問題を取り上げ，それらがもつ性質と解法を説明するとともに，それらの応用を紹介する．

最適化手法（数理手法III）

Content List

1. 最適化の概要、連続最適化：無制約最適化①

1-1 最適化問題の着眼点

1-2 最適化問題の例①:乗換案内

1-3 最適化問題の例②:配車計画

1-4 最適化問題の例③:最適設計（基本的な例題）

1-5 最適化問題の例④：1変数の場合

1-6 最適化問題の分類

1-7 無制約最適化の基本

1-8 最適解が同じ最適化問題

講義資料1

2. 連続最適化：無制約最適化②

2-1 応用例（回帰分析）

2-2 多変数の場合

2-3 勾配とヘッセ行列、テイラー展開

2-4 多変数関数の例

2-5 1次の最適性条件

2-6 勾配の意味

2-7 停留点

2-8 対称行列の正定値性

2-9 正定値行列の例

配付資料1

3. 連続最適化：無制約最適化③

3-1 最適性条件（前回の復習）

3-2 2次の最適性条件

3-3 最適性判定の例題（出題）、2×2行列の正定値性

3-4 最適性判定の例題（解説）

3-5 2次関数の勾配とヘッセ行列

3-6 数値解法：反復法の枠組み

3-7 最急降下法

3-8 2次元の例、正確な直線探索

3-9 最急降下法のアルゴリズム

3-10 実用的な直線探索

配付資料2

4. 連続最適化：無制約最適化④

4-1 最急降下法（前回の復習）

4-2 最急降下法の例題

4-3 最急降下法のアルゴリズムの実行例

4-4 最急降下法の長所と短所

4-5 ニュートン法

4-6 ニュートン法の例題

4-7 ニュートン法の長所と短所

4-8 降下方向

5. 連続最適化：無制約最適化⑤、制約付き最適化①

5-1 準ニュートン法

5-2 ヘッセ行列の近似の仕方：正定値対称

5-3 ヘッセ行列の近似の仕方：セカント条件

5-4 ヘッセ行列の近似の仕方：注意点、BFGS公式

5-5 準ニュートン法の例、無制約最適化の数値解法の比較

5-6 収束速度

5-7 最急降下法の加速法

5-8 制約付き最適化の基本

5-9 等式制約のみの場合

5-10 ラグランジュ乗数法

配付資料3

配付資料4

6. 連続最適化：制約付き最適化②

6-1 ラグランジュ乗数法（前回の復習、制約想定）

6-2 ラグランジュ乗数法の証明の概略①

6-3 ラグランジュ乗数法の証明の概略②

6-4 不等式制約をもつ場合

6-5 最適性条件の観察

6-6 KKT条件

6-7 ラグランジュ関数

6-8 一般の制約付き最適化問題の解法

配付資料5

7. 凸計画①

7-1 凸計画の導入

7-2 凸関数の定義

7-3 凸関数の例

7-4 凸関数の特徴づけ

7-5 凸集合

7-6 凸集合の例

7-7 凸計画問題の基本

7-8 線形計画問題の基本

7-9 等式標準形への変形例

7-10 線形計画問題の実行可能領域と最適解

7-11 線形計画問題の例

配付資料6

1-1　最適化問題の着眼点

1-2　最適化問題の例①:乗換案内

1-3　最適化問題の例②:配車計画

1-4　最適化問題の例③:最適設計（基本的な例題）

1-5　最適化問題の例④：1変数の場合

1-6　最適化問題の分類

1-7　無制約最適化の基本

1-8　最適解が同じ最適化問題

2-1　応用例（回帰分析）

2-2　多変数の場合

2-3　勾配とヘッセ行列、テイラー展開

2-4　多変数関数の例

2-5　1次の最適性条件

2-6　勾配の意味

2-7　停留点

2-8　対称行列の正定値性

2-9　正定値行列の例

3-1　最適性条件（前回の復習）

3-2　2次の最適性条件

3-3　最適性判定の例題（出題）、2×2行列の正定値性

3-4　最適性判定の例題（解説）

3-5　2次関数の勾配とヘッセ行列

3-6　数値解法：反復法の枠組み

3-7　最急降下法

3-8　2次元の例、正確な直線探索

3-9　最急降下法のアルゴリズム