数値解析

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情報理工学系研究科

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方程式の求解や，微分・積分などの計算は，手計算の形でこれまで十分経験していることと思う．しかし，天気予報，航空機の設計，物理現象のシミュレーションなど実際的な場面で必要とされる計算は，大規模かつ複雑で手計算ではとても実行できない．このような場合に使われるのが計算機を使った数値計算である．これは大変強力な方法であるが限界もあり，その性質をわきまえずに使うと思わぬ大怪我をする可能性もある．本講義では数値計算の方法と性質について，実用面に留意しながら解説する．本講義の履修には計算機プログラミングができることが望ましい．

Content List

数値解析

コンテンツ一覧

1. 数値解析とは

1-1 数値解析について

1-2 数値解析の難しさ

1-3 数値計算の落とし穴

1-4 落とし穴の対処法と教訓

1-5 数値解析例とまとめ

講義資料1

2. 数値の表現と誤差，連立一次方程式の解法

2-1 浮動小数点数の導入

2-2 単精度/倍精度で表現できる数

2-3 Machine epsilon

2-4 丸め誤差

2-5 桁落ち誤差

2-6 積み残し

2-7 区間演算

2-8 連立一次方程式を解くとは

2-9 Cramerの公式

2-10 逆行列を用いる方法

2-11 行列とベクトルのノルム

2-12 摂動により生じる誤差の評価

2-13 条件数のイメージと例

配付資料1 数の表現と誤差

配付資料2 連立一次方程式の解法（直接法）

3. 連立一次方程式の解法

3-1 （連立一次方程式の）直接法

3-2 Gaussの消去法：例と概要

3-3 Gaussの消去法：前進消去

3-4 Gaussの消去法：後退代入

3-5 Gaussの消去法：より一般の場合

3-6 Gaussの消去法：枢軸選択付き

3-7 Gasussの消去法：計算量

3-8 LU分解：導入と存在の証明

3-9 LU分解：枢軸選択付き

3-10 LU分解：利点

3-11 計算量の比較

3-12 注意点：fill in

3-13 注意点：Cholesky分解

3-14 LU分解：アルゴリズム

4. 連立一次方程式の解法（反復法）

4-1 反復法

4-2 Jacobi法

4-3 Gauss-Seidel法

4-4 SOR法

4-5 反復法の収束

4-6 反復法の収束と縮小写像の原理との関係

4-7 Jacobi法の収束

4-8 SOR法の収束

4-9 CG法のアルゴリズム

4-10 CG法の意味 1

4-11 CG法の意味 2

4-12 CG法の直接法的側面と反復法的側面

配付資料3 連立一次方程式の解法（反復法）

5. 固有値問題の解法

5-1 CG法の収束性

5-2 前処理

5-3 非対称行列のCG法

5-4 固有値問題の導入

5-5 相似変換

5-6 QR法に向かって

5-7 べき乗法

5-8 逆反復法

5-9 Gram-Schmidtの直交化法

5-10 同時反復法

5-11 行列のHesseberg化

配付資料4 固有値問題の解法

6. 固有値問題の解法，非線形方程式

6-1 QR法の続き 1

6-2 QR法の続き 2

6-3 非線形方程式の導入

6-4 不動点反復（関数反復）

6-5 縮小写像の原理の証明

6-6 縮小写像の原理の解説 1

6-7 縮小写像の原理の解説 2

6-8 Newton法 1

6-9 Newton法 2

配付資料4補足 Hessenberg QR法の計算量

配付資料5 非線形方程式の解法

7. 非線形方程式

1-1　数値解析について

1-2　数値解析の難しさ

1-3　数値計算の落とし穴

1-4　落とし穴の対処法と教訓

1-5　数値解析例とまとめ

2-1　浮動小数点数の導入

2-2　単精度/倍精度で表現できる数

2-3　Machine epsilon

2-4　丸め誤差

2-5　桁落ち誤差

2-6　積み残し

2-7　区間演算

2-8　連立一次方程式を解くとは

2-9　Cramerの公式

配付資料1　数の表現と誤差

配付資料2　連立一次方程式の解法（直接法）

3-1　（連立一次方程式の）直接法

3-2　Gaussの消去法：例と概要

3-3　Gaussの消去法：前進消去

3-4　Gaussの消去法：後退代入

3-5　Gaussの消去法：より一般の場合

3-6　Gaussの消去法：枢軸選択付き

3-7　Gasussの消去法：計算量

3-8　LU分解：導入と存在の証明

3-9　LU分解：枢軸選択付き

4-1　反復法

4-2　Jacobi法

4-3　Gauss-Seidel法

4-4　SOR法

4-5　反復法の収束

4-6　反復法の収束と縮小写像の原理との関係

4-7　Jacobi法の収束

4-8　SOR法の収束

4-9　CG法のアルゴリズム

配付資料3　連立一次方程式の解法（反復法）

5-1　CG法の収束性

5-2　前処理

5-3　非対称行列のCG法

5-4　固有値問題の導入

5-5　相似変換

5-6　QR法に向かって

5-7　べき乗法

5-8　逆反復法

5-9　Gram-Schmidtの直交化法

配付資料4　固有値問題の解法

6-1　QR法の続き 1

6-2　QR法の続き 2

6-3　非線形方程式の導入

6-4　不動点反復（関数反復）

6-5　縮小写像の原理の証明

6-6　縮小写像の原理の解説 1

6-7　縮小写像の原理の解説 2

6-8　Newton法 1

6-9　Newton法 2

配付資料4補足　Hessenberg QR法の計算量

配付資料5　非線形方程式の解法

7-1　Householder変換

7-2　Householder変換によるHessenberg化

7-3　Householder変換によるQR分解

7-4　Hessenberg QR法の各反復の計算量

7-5　Newton法の収束速度

7-6　関数の近似とは

7-7　Lagrange補間とは

7-8　Lagrange補間の表現1

7-9　Lagrange補間の表現2

配付資料6　補間

8-1　Lagrange補間の誤差評価

8-2　誤差評価の定理の証明

8-3　多項式補間の失敗

8-4　Lagrange補間の近似度 1

8-5　Lagrange補間の近似度 2

8-6　スプライン補間

8-7　数値積分の導入

8-8　補間に基づく積分公式

8-9　補間に基づく積分公式（重み関数付き）

配付資料7　数値積分

9-1　直交多項式の性質

9-2　Gauss公式

9-3　Gauss公式の誤差評価

9-4　DE公式